Всего: 117 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Фокусник выкладывает в ряд колоду
(Алексей Воропаев)
Дана окружность 
с центром 0 и две её различные точки А и С. Для любой другой точки P на отметим середины X и Y отрезков AP и CP и построим точку H пересечения высот треугольника ОХҮ. Докажите, что положение точки Н не зависит от выбора точки Р.
(Артемий Соколов)
то 
а прямая YH содержит среднюю линию треугольника APC. Аналогично, прямая 
содержит среднюю линию этого треугольника. Эти средние линии пересекаются в точке H — середине стороны AC.В каждой клетке полоски
(Егор Бакаев)
Бесплатная операция меняет фишки в соседних одноцветных клетках. Поэтому в клетках одного цвета фишки можно бесплатно переставить в любом порядке. Поменяем фишки во всех парах bc и 
то 49 платных операций. В клетках цвета b и c фишки уже можно расставить нужным образом бесплатно. В клетках цвета a и d сделаем так, чтобы фишки 0 и 99 встали рядом. Поменяем их последней платной операцией и дорасставим все фишки в нужном порядке.
Сумма каждых 41 подряд идущих квадратов на круге делится на 412. Верно ли, что каждое из чисел 
делится 
(индексы считаем зацикленными, то есть за 1000 следует 1). Значит, 
при любом 
Так как числа 41 и 1000 взаимно просты, то квадраты всех чисел на круге дают при делении на 
один и тот же остаток. Следовательно, 
делится на 
поэтому 
делится на 41 , а поскольку 41 — простое число, то и 
делится на 41.
и уголков из трёх кубиков 
Вася целиком заполнил ими 
Из двух уголков можно сложить кирпич 
Если 
чётно, то основание коробки можно разбить на доминошки 
и поставить на них по кирпичу, заполнив тем самым коробку. Иначе разобьём основание коробки на квадрат 
и два прямоугольника (возможно пустых), см. рис. Прямоугольники разобьём на доминошки, а квадрат — как на рисунке. На доминошки поставим по кирпичу, а в оставшееся место положим три уголка. Коробка заполнена уголками.
количество сомножителей в его разложении на простые (например, сложность чисел 4 и 6 равна 2). Для каких n все числа между n и 2n имеют сложность 
—
имеют сложность не больше k. 
есть степень двойки (можно взять наибольшую степень двойки, меньшую n, и удвоить её). Очевидно, её сложность больше, чем у 
где k натуральное. Но число 
имеет такую же сложность, как и n, и находится между n и 
а сложность qr равна сложности n.
таковы, что точки B1 и C1 лежат на стороне BC, а точка A1 лежит внутри треугольника ABC. Пусть S и S1 — соответственно площади этих треугольников. Докажите, что
наших треугольников. Заметим, что K и K1 — центры окружностей, вписанных в четырёхугольники ABDC и A1B1D1C1, а требуемое неравенство превратилось в очевидное неравенство 
где r и r1 — радиусы указанных окружностей.Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый тип встречается хотя бы раз). Известно, что золотые весят по 3 грамма, серебряные — по 2 грамма, медные — по 1 грамму. Как на чашечных весах без гирек гарантированно определить тип у всех монет не более, чем за 101 взвешивание?
(Владислав Новиков)
взвешивание и определены веса k монет, причём среди них есть серебряная или две медных. В победной ситуации, сравнивая неизвестную монету с весом 2 г, мы определим её вес, увеличив число известных монет и число взвешиваний на единицу и так определим все монеты не более чем 
числом взвешиваний 
Сначала выделим одну монету и будем сравнивать незатронутые монеты с ней, пока не найдём монету другого веса. Пусть A более лёгкая, а B — более тяжёлая из затронутых монет. Далее сравниваем незатронутые монеты с B, пока снова не получим неравенство. Теперь у нас 
есть одна или несколько монет одинакового веса a, одна или несколько монет другого веса 
и одна монета C веса 
Сравним C с A. Возможны два случая. 
Сравним B с 
то есть b с 
Возможны варианты: 
(если 
Во всех случаях ситуация победная: 
веса z монет определены и есть нужные монеты (с общим весом 2). 
Значит, a, b, c — три разных веса, они как-то упорядочены 
или 
поэтому определены однозначно. При этом 
—
Тогда можно определить, какая из k монет какого типа, за 
взвешивание.
Теперь сравним 
и 
Если веса пар равны, то 
и 
так что мы можем выкинуть B и b (запомнив, что они совпадают по весу с A и a), и воспользоваться предположением индукции для 
монет.
Заметим, что при этом обязательно 
и 
Монеты в паре 
имеют либо веса 
с 
мы однозначно восстановим веса всех четырёх монет. Среди них есть монета веса 2, будем сравнивать с ней все остальные монеты, на что уйдут оставшиеся 
взвешивания. Первое утверждение доказано. Теперь выведем по индукции следующее утверждение, усиливающее требуемое в задаче.
и воспользуемся утверждением.Из центра O описанной окружности треугольника ABC опустили перпендикуляры OP и OQ на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине B. Докажите, что прямая PQ делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон CB и AB.
(Артемий Соколов)
точка P — в точку R пересечения биссектрисы угла B с 
—
что пара 
хорошая. Действительно, 
есть квадрат, умноженный на 
Тогда 
Так как n, поделённое на m, тоже квадрат, имеем: 
равным 
тогда 
откуда 
У Пети было несколько сторублёвок, других денег не было. Петя стал покупать книги (каждая книга стоит целое число рублей) и получать сдачу мелочью (монетами
(Татьяна Казицына)
рублей мелочи, а значит, после этого её станет не больше чем 
рублей. Так как дорогие покупки количество мелочи не уменьшают, то все предыдущие покупки вместе с рассмотренной дали в сумме не более 
меньше половины потраченного. Поэтому другие покупки есть. Но тогда у Пети было не менее 
сторублёвки, а мелочи в конце стало не больше 
Значит, 
откуда 
Таким образом, мелочи останется не более 
Значит, и потрачено менее 5000 рублей.
руб.
и за каждую из них отдано не больше двух сторублёвок (иначе указанная разность не больше 
Следовательно, всего сторублёвок было не больше 
а половина от этой суммы не больше 
В клетчатом деревянном квадрате 102 клетки намазаны чёрной краской. Петя, используя квадрат как печать, 100 раз приложил его к белому листу, и каждый раз эти 102 клетки (и только они) оставляли чёрный отпечаток на бумаге. Мог ли в итоге на листе получиться квадрат 101 · 101, все клетки которого, кроме одной угловой, чёрные?
(Александр Грибалко)
без угловой клетки можно получить, 
раз приложив печать из 
клеток. Для пояснения приведём рисунок для 
с двумя приклеенными сверху и справа полосками 
Разобьём квадрат 
Покрасим левый нижний и правый верхний квадратики 
и верхнюю полоску в серый цвет. Теперь белая часть получается из серой поворотом на 
по часовой стрелке (относительно центра квадрата 
Левый край каждого серого квадратика 
отпечатками покроем белую область. 
таков, что для всякого целого 
каждый из многочленов 
и 
либо тождественно равен нулю, либо имеет степень не выше n. Может ли многочлен 
иметь нечётную степень?
Запишем многочлен 
—
степень многочлена 
есть n различных корней, поэтому его степень не меньше n. Но она не больше m, значит, 
При этом одночлен 
заведомо встречается в произведении 
и не встречается в остальных произведениях, 
—Отрезки 
и 
с концами на сторонах остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке P внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку P. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что P — точка пересечения высот треугольника ABC.
(Г. Гальперин)
B и 
лежат на одной окружности. Значит, 
—
и 
—Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый тип встречается хотя бы раз). Известно, что золотые весят по 3 грамма, серебряные — по 2 грамма, медные — по 1 грамму. Как на чашечных весах без гирек гарантированно определить тип у всех монет не более, чем за 101 взвешивание?
(Владислав Новиков)
Дана возрастающая последовательность положительных чисел
бесконечная в обе стороны. Пусть bk — наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых k подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих k членов не превышает bk. Докажите, что последовательность 
либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.
(Иван Митрофанов)
а при 
отношение из условия меньше k, поэтому 
при всех 
Если последовательность 
не совпадает с натуральным рядом, то 
при некотором k. Тогда 
то есть 
Обозначим 
Чтобы оценить сверху произвольное 
оценим сверху 
получаем тогда для первого слагаемого: 
не более k подряд идущих слагаемых — числом 
и так далее, откуда левая часть неравенства (*) не превосходит 
не превосходят 
Поскольку последовательность 
очевидно, не убывает, то она стабилизируется на числе, не большем 
Точка M лежит внутри выпуклого четырёхугольника ABCD на одинаковом расстоянии от прямых AB и CD и на одинаковом расстоянии от прямых BC и AD. Оказалось, что площадь четырехугольника ABCD равна 
Докажите, что четырёхугольник ABCD
а) вписанный;
б) описанный.
(Наири Седракян)
две стороны которого равны MA и MC, а значит, 
прямоугольный, то есть 
откуда 
Тогда 
мы получим тот же результат. 
где M — центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD.Куб, состоящий из 
единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба. Каждая спица протыкает ровно 2n кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.
а) Докажите, что можно выбрать такие 2n2 спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?
(Никита Гладков, Александр Зимин)
и 
В каждом слое найдём максимум числа таких спиц, идущих в одном направлении. Точно также найдём максимумы числа спиц для каждого слоя параллельного Oxz и параллельного Oyz. Пусть k — минимум из 6n этих максимумов. Рассмотрим слой K, где максимум равен k. В слое можно выбрать 
строк и 
кубиков, их протыкают 
спиц. Добавим к ним синие спицы. По известному неравенству 
единичных кубиков. Проткнём каждый выделенный кубик тремя перпендикулярными спицами. Тогда и все невыделенные единичные кубики тоже проткнуты. Заметим, что каждая спица протыкает ровно n выделенных кубиков. Значит, если спицы выбраны так, что никакой кубик не проткнут дважды, то спиц не более чем 
спиц.Некоторые из чисел 
делится на n, то 
Докажите, что красных чисел не больше, чем 
(количество натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых
(Александр Семенов)
Тогда некоторые красные числа имеют с n общий простой делитель. Пусть q — наибольшее из таких простых и a — красное число, кратное Чтобы получить противоречие достаточно найти различные красные числа b и c, сравнимые по модулю 
а для этого достаточно показать, что 
получаем 
Фокусник выкладывает в ряд колоду
(Алексей Воропаев)